Ejercicios sobre Transformaciones Lineales

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Ejercicios sobre transformaciones lineales

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Actividad Nº 11: Cambio de base vectorial por transformaciones lineales.

1. Sea Y= AX,una transformación lineal referida a la base E, donde:
A= 1 2 3
1 2 1
1 0 1
y Z1=(1,0,1)t ; Z2=(1,0,-1)t; Z3=(1,-1,-1)t; una nueva base Z. Sabiendo que X=(1,-2,3) respecto a la base E. Hallar:

a) La imagen de X respecto a la transformación.
b) Las coordenadas de X respecto a la nueva base.
c) Hallar la trasformación lineal Yz=BXz correspondientes a Y=AX
d) Tomando en cuenta el resultado del apartado (c). Hallar la imagen Yz, siendo Xz=(1,2,3).


2. Sabiendo Yz= AXz,una transformación lineal referida a la base Z, donde:
A= 1 1 -2
1 2 0
1 1 1
y W1=(1,-1,1)t ; w2=(1,1,0)t; w3=(1,0,-1)t; los vectores referida a una nueva base W. Hallar la misma transformación lineal Yw=BXw referida a la base W.

Actividad Nº 10: Método de Gram Schmidt. Transformación Lineal.

Actividad Individual:

Investigar:

1. Método de Gram-Schmidt.
2. Matriz asociada a una transformación lineal con respecto a la bases dadas.
3. Cambios de base y matriz asociada.

Actividad Grupal

1. Calcular la matriz asociada a la siguiente transformación lineal; T: R³ -->R³ definida por:
T(x,y,z)= [(x+2z),0, (x+y+z)], sabiendo que en los dos conjuntos se toma como base la canónica.

2. Dada la transformación lineal T:R³ -->R³ , tal que: T(x,y,z)= [(x),(x+y), (x-y+z)], sabiendo cuyas bases son las canónicas, calcular la matriz asociada y después calcular las coordenadas del transformado del vector a=(2,1,3).

3. Calcular la matriz asociada a la siguiente transformación lineal; T: R³ -->R³ respecto a la bases B1={e1,e2,e3} ={(1,0,2),(2,1,0),(-1,0,1)}; y B2={u,v,w} ={(2,0,2),(4,1,2),(0,1,2)}; definida por: T(x,y,z)= [(x+y),y, (z+y)], y después calcular las coordenadas de a=(3,-2,1) en base B2.

4. Hallar por el proceso de normalizcaión de vectores, los vectores unitarios correspondientes a los siguientes vectores:

4.1.a= (-2,4,-2)
4.2 b= (3,-4,5)
4.3 c= (-1,0,4)

5. Por el método de Gram-Schmidt, Hallar las bases ortonormales de las siguientes bases de vectores en R³.
5.1 e1= (1,1,1), e2=(1,1,0), e3=(0,1,1)
5.2 x1= (1,-1,1), x2=(2,-1,0), x3=(0,2,1)


Bendiciones para todos.