Matemáticas para todos: un blog interesante

Imagen tomada en: http://www.ilhn.com/

En estos días me conseguí en la guía de blogs mexicanos Blogs México una bitácora muy interesante de un Profesor méxicano llamado Néstor Martinez, este blog es Matemáticas para todos, donde el profesor nos explica de forma sencilla desde aritmética, geometría elemental y análitica, hasta el álgebra elemental y líneal.

Tambén ofrece ayuda en el área de Mecánica de Solidos o Fisica I para los estudiantes de las carreras de Ingeniería.

Espero que este blog tambíen les sirva de ayuda en el mundo de las matemáticas divertidas y entretenidas.

Actividad Nº13 Cosenos Directores de una recta en el espacio y ángulo formado por dos rectas en el espacio.

1. Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por los puntos P1(2, 5, - 1) P2(3, - 2, 4) y que está dirigida de P1 a P2.
2. Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por los puntos P1 (- 9, 2, 1) P2 (- 7, 0, 2) y que está dirigida de P2 a P1.
3. Dos de los cosenos directores de una recta son 2/3 y 1/3. Hallar el tercer coseno director.
4. Hallar los cosenos directores de una recta si los ángulos directores alfa y beta son 60º y 30º respectivamente.
5. Hallar los cosenos directores de una recta si alfa=45º y gamma= 60º y beta es agudo.
6. Hallar el coseno del ángulo formado por las dos rectas dirigidas cuyos cosenos directores son:
1/6*6^1/2, 1/3*6^1/2, -1/3*6^1/2 y -1/7*14^1/2, 3/14*14^1/2, 1/14*14^1/2.
7. Hallar el ángulo formado por las dos rectas dirigidas cuyos cosenos directores son: 2/7, -3/7, 6/7 y -2/3, 1/3, 2/3.
8. La recta l1 pasa por los puntos (-6,-1,3) , (-3, 2, 7), y la recta l2 pasa por los puntos (4,2,1), (3,-2,5). Hallar el ángulo águdo formado por l1 y l2.

Material de Apoyo para Geometría Analítica en el espacio.

Jóvenes, aqui les dejo dos materiales que ustedes pueden bajar por el blog, uno es el del Prof. Eduardo Reyes de la la Universidada de Toruco en Bolivia, y otro del Prof. Diego Moya sobre puntos, cosenos directores, rectas, planos en el espacio. Espero que los lean y la puedan utilizar en las siguientes actividades.

Nota: Para poder descargar estos archivos, tendrán que hacer click en la palabra Scribd que está en la parte superior de cada uno de los archivos, posteriormente se les abrirá una ventana donde allí si podrán descargar ya sea en word o en acrobat reader.

Actividad Nº 11: Ecuaciones Paramétricas

En cada uno de los siguientes ejercicios trazar la curva correspondiente partiendo de sus ecuaciones parametricas dadas. Obtingase también la ecuación rectangular de la curva e identifiquese si es posible. Las letras a, b, c, d y p representan constantes diferentes de cero.

1. x = at, y = bt.

2. x = a sen @, y = a cos @,
3. x= 5t, y= 2t + 2,
4. x= pt², y=2pt
5. x= a cos @, y= a cos@
6. x= 2t² , y=3/(t²),
7. x= a sec@ , y= b tg@;
8. x= a sen⁴@, y=a cos⁴@,
9. x= bt², y=bt²,
10. x= a tg@, y=b sec²@,

Tabla con valores de razones trigonométricas e identidades trigonométricas

Jóvenes esta tablas les será de mucha ayuda para los temas de coordenadas polares y ecuaciones paramétricas.

Ecuaciones Paramétricas

Jóvenes aqui les dejo esta menual que fue publicado por los Profesores Jesús Infanete Murillo y Pablo Fuentes Ramos puedes acceder haciendo click aquí

Acttividad Nº 10: La recta y la Circunferencia en coordenas polares

1. Transformar la ecuaciones rectangulares de la rectas dadas a la forma polar normal de la ecuación.

3 x - 4 y + 5 = 0
4 x - 3 y - 1 0 = 0 .
5x + 12y + 26
2x + y = 0.

2. Hallar la ecuación polar de la recta.que pasa por el punto (6, 2pi/3) y es perpendicular a1 eje polar.

3. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por el punto (2*2^1/2, 3pi/4) y es paralela al eje polar.

4. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por los puntos (4, 2pi/3) y (2*2^1/2, pi/4).

5. Hallar la ecuación polar de la circunferencia de centro el punto (6,3pi/4) y radio igual a 4.

6. Hallar la ecuación polar de la circunferencia de centro el punto (3,7pi/6) y que pasa por el punto (2, 4pi/3).

7. Hallar el radio y las coordenadas polares del centro de la circunferencia a partir de las ecuaciones dadas.
r= 4 cos@
r= 2 cos@ + 2*3^1/2 sen@
r² + r cos@ - 3^1/2 r sen@ - 3 =0

Manual de Coordenadas Polares (1º Parte)

Jóvenes por favor impriman la 1º parte del Manual que vamos a utilizar en la Unidad Nº 3.

Actividad Nº9: Transformacion de Coordenadas Polares y Rectangulares

1. En un sistema polar trazar los siguientes puntos:
P₁ (1, 135º) , P₂ (-2, pi/3), P₃ (3, 75º), P₄ (-4, 2pi/3).

2. Construir el triángulo cuyos vértices son:
P₁ (5, 60º) , P₂ (-2, 7pi/4), P₃ (-4, 150º).

3. Un cuadrado de lado 2a tiene su centro en el polo y dos de sus lados son paralelos al eje polar. Hallar el par principal de coordenadas polares de cada uno de sus cuatro vértices.

4. Un punto P se mueve de tal manera que para todos los valores de su ángulo polar, su radio vector permanece constante e igual a 2. Identificar y trazar el lugar geométrico de P.

5. Hallar las coordenadas rectangulares de los cuatro puntos del ejercicio Nº1.

6. Hallar el par principal de coordenadas polares de cada uno de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son

(- 2, 3) y (3,- 2).

7. En cada uno de los ejercicios pasar la ecuación rectangular dada a su forma polar e identificarla:

x² + y²=4
x² - y²=4
5x -4y + 3=0
x² + y² - 2y=0
2x² + 2y² + 2x - 6y + 3=0
x² - 4y - 4=0

8. En cada uno de los ejercicios pasar la ecuación polar dada a su forma rectanguñar e identificárla:

r cos@ - 2=0
r = 4 sen @
r= 9 cos @
r - r cos @ = 4

Actividad Nº8: Elipse e Hipérbola

1. La ecuación de una familia de elipse es:

4x² + 9y² + ax + by - 11 = 0. Hallar la ecuación del elemento de la familia que pasa por los puntos (2, 3) y (5, 1 ).

2. El centro de una elipse es el punto (- 2, - 1) y uno de sus vertices es el punto (3, - 1). Si la longitud de cada lado recto es 4, hallese la ecuación, de la elipse. su excentricidad y las coordenadas de sus focos.

3. Los vértices de una hiperbola son los puntos V (3, 0) y

V'(-3, 0) y sus focos los pantos F(5, 0) y F' ( -5 , 0). Hallar la ecuación de la hiperbola, las longitudes de sus ejes transverso y conjugado, su excentricidad y la longitud de cada lado recto.

4. Hallar en cada una de las ecuaciones de la hipérbola, las coordenadas de los vértices y foces, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la excentricidad y la longitud de cada lado recto.

9x² - 4y² = 36

9y² - 4x² = 36

4x² - 9y² = 36

x² - 4y² = 4

5. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje conjugado está sobre el eje X. La longitud de cada lado recto es 2/3 y la hipérbola pasa por el punto (- 1, 2 ) . Hallar su ecuación.

6. Hallar la ecoación de la hipérbola que pasa por los puntos (3, - 2) y (7, 6) , tiene su ccntro en el origen y el eje transverso coincide con el eje X.

7. Hallar los puntos de interseción de la recta 2x - 9y + 12 = 0 con las asíntotas de la hipirbola 4x² - 9y² = 11.

8. Los vértices de una hipérbola son los puntos (- 1, 3) y

(3 , 3 ) , y su excentricidad es 5. Hallar la ecuaci6n de la hipérbola, las coordenadas de sus focos, y las longitudes de sus ejes transverso y conjugado, y de cada lado recto.

9. El centro de una hipérbola es el punto (2, - 2 ) y uno de sus vértices el punto (0, - 2 ) . Si la longitud de su lado recto es 8, hallar la ecuación de la curva, la longitud de su eje conjugado y su excentricidad.

10. Reducir a la ecuación ordinaria cada una de las ecuaciones generales de hipérbola y determinar las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, y del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas.

x² - 9y² - 4x + 36y - 41=0

4x² -9y² +32x + 36y +64=0

x² - 4y² - 2x +1=0

9x² - 4y² - 2x +1=0

9x² - 4y² +54x + 16y +29=0

3x² - y² +30x + 78=0

Actividad Nº 7: Parábola y Elipse

1. Demostrar que la ecuación 8x² - 40x - 48y + 194 = 0 representa una parábola, y hallar las coordenadas del vértice y del foco. la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

2. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3, 4) y cuyo foco es el punto (3 , 2) . Hallar también la ecuacion de su directriz y la longitud de su lado recto.

3. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X pasa por el punto (-2, -4). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Trazar la gráfica correspondiente.

4. Hallar la ecuación de la pardbola de vértice en el origen y directriz es la recta x + 5 = 0.

5. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los tres puntos (0, 0 ) , (8, - 4) y (3, 1).

6. Una elipse tiene su centro en el origen, y su eje mayor coincide con el eje X. Si uno de los focos es el punto (-3, 0) y la excentricidad es igual a 1/4. Hallar las coordenadas de otro foco, las longitudes de l0s ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de sus lados rectos.

7. Los vértices de una elipse son 10s puntos (0, 6). (0, - 6), y sas focos son l0s puntos (0. 4), (0, - 4). Hallar su ecuación.

8. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son l0s puntos (2, 0) y (- 2. 0) , y su excentricidad es igual a 2/3.

9. La ecuación de una elipse es 2x² + 8y² +4x - 24y + 12 = 0. Reducir esta ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas del centro, de l0s vértices y de los focos; calcular las longitudes del eje mayor. del eje menor, de cada lado recto y la excentricidad.

10. Los focos de una elipse son los puntos ( 3 , 8) y (3, 2 ) , y la longitud de su eje menor es 8. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad.

Actividad Nº 5: La circunferencia. Ecuación ordinaria y general

1. Escribir la ecuación de la circunferencia:

Grupo 1: Centro C ( - 3, - 7) y radio 7.

Grupo 2: Centro C ( - 3, - 2) y radio 5.

Grupo 3: Centro C ( - 4, - 7) y radio 4.

Grupo 4: Centro C ( - 4, - 6) y radio 3.

Grupo 5: Centro C ( - 2, - 4) y radio 8.

Grupo 6: Centro C ( - 3, - 1) y radio 6.

Grupo 7: Centro C ( - 5, - 7) y radio 5.

Grupo 8: Centro C ( - 2, - 1) y radio 6.

Grupo 9: Centro C ( - 3, - 2) y radio 7.

2. Hallar la ecuacion de la circunferencia de centro C ( 2 , - 4) y que es tangente al eje Y.

3. La ecuación de una circunferencia es (x - 3)²+ (y + 4)²= 36. Demostrar que el punto A ( 2 . - 5) es interior a la circunferencia y que el punto B (- 4, 1) es exterior.

4. Una cuerda de la circunferencia x²+y²= 25 está sobre la recta cuya ecuación es:

x - 7y + 25 = 0. Hallese la longitud de la cuerda.

5. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio:

Grupo 1: 5

Grupo 2: 4

Grupo 3: 8

Grupo 4: 9

Grupo 5: 7

Grupo 6: 3

Grupo 7: 6

Grupo 8: 10

Grupo 9: 5

6. Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria, determinar si representa o no una circunferencia. Si la, respuesta es afirmativa, hallar su centro y su radio.
Grupo 1: 2x²+2y²-10x+6y-15=0
Grupo 2: x²+y²-8x+6y+29=0
Grupo 3: 2x²+2y²-6x+10y+7=0
Grupo 4: 4x²+4y²+28x-8y+53=0
Grupo 5: 16x²+16y²-64x+8y+177=0
Grupo 6: 4x²+4y²-20x+12y-30=0
Grupo 7: 6x²+6y²-30x+18y-45=0
Grupo 8: 8x²+8y²+56x-16y+106=0
Grupo 9: 4x²+4y²-12x+20y+14=0

y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x - 2 y - 24 = 0 , 2x + 7y + 0 = 0.

7. Una cuerda de la circunferencia x²+y²=25 está sobre la recta cuya ecuación es x - 7y +25=0. Hallése la longitud de la cuerda.

8. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia: x²+y²+2x-2y-39=0

en el punto (4, 5 ).

9. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por l0s puntos (- 1, - 4 ) . (2, - 1) y cuyo centro está sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0.

10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (11, 4) y es tangente a la circunferencia x²+y²-8x-6y=0 (Dos soluciones.)

Actividad Nº 4: Rectas

1. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X y Y son:
Grupo 1: 1 y - 3
Grupo 2: 2 y - 2
Grupo 3: 2 y - 3
Grupo 4: 2 y - 3
Grupo 5: 2 y - 3
Grupo 6: 3 y - 1
Grupo 7: 4 y - 2
Grupo 8: 2 y - 4
Grupo 9: 2 y - 6
respectivamente. Hallar su ecuación general.

2. Una recta pasa par los dos puntos A (- 3, - 1) y B (2. - 6 ) . Hallar su ecuación en la forma simetrica.

3. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A (- 3, 2 ) . B (1. 6 ) .

4. Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax - B y + 4 = 0 de una recta, si debe pasar por l0s puntos:
Grupo 1: C (- 2, 1) y D (0, 6) .
Grupo 2: C (- 3, 3) y D (1, 5) .
Grupo 3: C (- 3, 2) y D (2, 6) .
Grupo 4: C (- 3,-1) y D (1, 1) .
Grupo 5: C (- 3. 1) y D (1. 6) .
Grupo 6: C (- 4, 1) y D (-1, 6) .
Grupo 7: C (- 3, 2) y D (-3, 4) .
Grupo 8: C (- 1, 1) y D (1, -2) .
Grupo 9: C (- 3, 1) y D (-2, 3) .

5. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3x -4y + 11=0 y pasa por el punto (-1,-3).

6. Demostrar que las rectas 5x- y - 6 =0, x+5y - 22=0 ,

5x- y-32= 0 y x + 5y + 4 = 0 forman un cuadrado.

7. Demostrar que las tres rectas 3x -5y + 7 =0 2 x + 3 y - 8 = 0 y 6x - 7y + 8 = 0 son concurrentes. (Rectas que cortan en un solo punto).

8. Hallar la ecuación de la recta en la forma normal, siendo:
Grupo 1: w=60º p=6
Grupo 2: w=45º p=6
Grupo 3: w=30º p=4
Grupo 4: w=60º p=5
Grupo 5: w=45º p=3
Grupo 6: w=30º p=4
Grupo 7: w=60º p=6
Grupo 8:w=45º p=2
Grupo 9:w=30º p=8

9. Hallar la distancia del origen a la rcta 2x- 3y + 9 =0

10. Hallar la ecuación de la recta cuya distancia del origen es 5 y que pasa por el punto (1,7). (Dos soluciones).

Vïdeo y Descarga del Libro de Lehmann

Jóvenes, el vídeo de "Donald en el mágico mundo de las matemáticas lo pueden volver a ver haciendo click aquí

Sus comentarios lo dejan en el Foro de Discusión pueden hacer click aquí o en la columna derecha del blog.

Si quieren descargar el Libro de Geometría Analítica de Charles Lehmann pueden hacer click aquí y sólo tienen que seguir los pasas que allí les indican.

Si presentan algún incoveniente, pueden dejar sus comentarios al final de este post.

Actividad Nº2: Rectas paralelas, perpendiculares, lugares geométricos, simetrías y asintótas

1. Por medio de las pendientes demuestre que los tres puntos
(6. - 2), (2, 1) y (- 2. 4) son colineales.

2. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P (x, y) que
pertenezca a la recta que pasa por los dos puntos

Grupo 1: (3, - 1 ) y (4, 3).
Grupo 2: (2, - 2 ) y (5, 3).
Grupo 3: (3, - 1 ) y (6, 3).
Grupo 4: (2, - 1 ) y (7, 3).
Grupo 5: (1, - 1 ) y (6, 4).
Grupo 6: (2, - 1 ) y (7, 3).
Grupo 7: (0, - 1 ) y (7, 4).
Grupo 8: (3, - 1 ) y (7, 1).
Grupo 9: (2, - 1 ) y (3, 3).

3. Hallar la ecuaci6n a la cual debe satisfacer cualquier punto P ( x , y) que pertenezca a la recta que pasa por el punto (3, - I) y que tiene una pendiente igual a:

Grupo 1: 3
Grupo 2: - 2
Grupo 3: - 1
Grupo 4: 7
Grupo 5: - 5
Grupo 6: 2
Grupo 7: 4
Grupo 8: -3
Grupo 9: -4

4. Demostrar que la recta que pasa por los dos puntos (- 2. 5) y (4, 1) es perpendicular a la que pasa por los dos puntos (- 1, 1) y (3, 7) .

5. Una recta l1 pasa por los puntos (3, 2) y (- 4. - 6 ) y otra recta l2 pasa por el punto (- 7, 1) y el punto A cuya ordenada es - 6. Hallar la abscisa del punto A. sabiendo que l1 es perpendicular a l2.

6. Una recta l1 pasa por los puntos (3, 2) y (- 4. - 6 ) y otra recta l2 pasa por el punto (- 7, 1) y el punto A cuya ordenada es:

Grupo 1: 5
Grupo 2: 3
Grupo 3: - 1
Grupo 4: 7
Grupo 5: - 3
Grupo 6: -5
Grupo 7: 4
Grupo 8: -3
Grupo 9: -4

Hallar la abscisa del punto A. sabiendo que l1 es paralela a l2.

7. Hallar los lugares geométricos para x=-1,-2,-3,0,1,2,3 de la siguientes ecuación:
x^2+ y^2- 4=0

8. Buscar las asintótas verticales y horizontales en la ecuación:
2xy - y - 2 = 0

Un buen libro de Geometría Análitica

Entre tantas bibliografías recomendada para la asignatura está el famoso libro de Charles Lehmann de Geometría Analítica, publicada en 1989 por Editorial Limusa, en éste encontarán las demostraciones de las fórmulas, ejercicios resueltos y propuestas con una explicación sencilla y fácil de entender. En el blog del amigo Hygea encontrarán como descargar este libro por internet, está en formato pdf, por lo que es fácil para su revisión. Espero que les sirva de ayuda.

Actividad Nº1 Segmentos

1. Hallar la distancia entre l0s puntos cuyas coordenadas son:
Grupo 1: (- 5) y(6); (3) y( - 7 ) : ( - 8 ) y (-12).
Grupo 2: (- 3) y(4); (3) y( -2 ) : ( - 6 ) y (-10).
Grupo 3: (- 4) y(5); (2) y ( - 6 ) : ( - 7 ) y (-11).
Grupo 4: (- 5) y(6); (3) y ( - 7 ) : ( - 8 ) y (-14).
Grupo 5: (- 7) y(5); (4) y ( - 7 ) : ( - 8 ) y (-10).
Grupo 6: (- 3) y(5); (3) y ( -3 ) : ( - 6 ) y (-11).
Grupo 7: (- 4) y(7); (2) y ( - 5 ) : ( - 7 ) y (-10).
Grupo 8: (- 5) y(7); (3) y ( - 8 ) : ( - 9 ) y (-14).
Grupo 9: (- 7) y(-5); (-4) y ( -5 ) : ( - 5 ) y (-10).

2. Tres vértices de un rectángulo son los puntos
Grupo 1: (2, - 1) , (7, - 1) y(7, 3) .
Grupo 2: (5, 2) , (10, 2) y(10, 6) .
Grupo 3: (0, - 3) , (5, - 3) y(5, 1) .
Grupo 4: (3, 0) , (8, 0) y(8, 4) .
Grupo 5: (-5, - 8) , (0, - 8) y(0, -4) .
Grupo 6: (4, 1) , (9, 1) y(9, 5) .
Grupo 7: (-2, - 5) , (3, - 5) y(3, -1) .
Grupo 8: (-12, - 15) , (-7, - 15) y(-7, -11) .
Grupo 9: (-4, - 7) , (1, - 7) y(1, -3) .
Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo.

3. Los vértices de un triángulo rectángulo son l0s puntos (1, - 2).
(4, - 2 ) . (4. 2). Determinar las longitudes de l0s catetos. y después calcular
el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa.

4. Hallar la distancia entre los puntos:
Grupo 1: (6, 0) y (0, - 8 ).
Grupo 2: (1, - 7) y(1, -3) .
Grupo 3: (-4, - 7) y(1, -2) .
Grupo 4: (-7, - 15) y(-7, -11).
Grupo 5: (-12, - 15) y (-7, - 15).
Grupo 6: (-12, - 14) y (-7, - 16).
Grupo 7: (-12, - 10) y (-7, - 15).
Grupo 8: (-10, - 10) y (-4, - 1).
Grupo 9: (-2, - 2) y (1, 4).

5. Demostrar que l0s puntos (- 5, 0). (0, 2) y (0, - 2) son l0s vértices
de un triángulo isósceles, y calcular su área.

6. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido
cuyos extremos son l0s puntos:
Grupo 1: (- 7) y (- 19).
Grupo 2: (-4) y (- 14).
Grupo 3: (-5) y (- 17).
Grupo 4: (0) y (- 12).
Grupo 5: (-3) y (- 15).
Grupo 6: (-10) y (- 22).
Grupo 7: (-1) y (- 13).
Grupo 8: (-9) y (- 21).
Grupo 9: (-2) y (- 14).

7. Uno de l0s puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8 ) . y su
punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo.

8. Hallar l0s puntos de trisecci6n y el punto medio del segmento cuyos
extremos son l0s puntos (- 2, 3) y (6, - 3 ).

9. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por l0s
puntos:
Grupo 1: (- 3, 2) y (7,- 3 ).
Grupo 2: (- 3, 3) y (4, - 3 ).
Grupo 3: (0, 3) y (4, - 3 ).
Grupo 4: (- 3, 3) y (4, - 4 ).
Grupo 5: (- 1, 3) y (2, - 3 ).
Grupo 6: (- 1, 0) y (2, - 3 ).
Grupo 7: (- 1, 2) y (2, - 3 ).
Grupo 8: (- 1, 3) y (2, - 1 ).
Grupo 9: (- 1, -3) y (2, - 3 ).

10. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º. La recta inicial pasa por l0s puntos (- 2, 1) y (9, 7) y la recta final pasa por el punto (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es - 2. Hallar la ordenada de A.

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