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miércoles, 27 de agosto de 2008
lunes, 25 de agosto de 2008
domingo, 24 de agosto de 2008
sábado, 23 de agosto de 2008
viernes, 22 de agosto de 2008
jueves, 21 de agosto de 2008
martes, 19 de agosto de 2008
lunes, 18 de agosto de 2008
domingo, 17 de agosto de 2008
Un buen libro: Introducción al Algebra Lineal EN CONTEXTO
Hace algunos días uno de mis lectores, IVAN que es estudiante de UNEFA Caracas, me preguntaba sobre algún libro de Algebra Lineal que le pudiera recomendar, y me hizo recordar un correo que me envío el Prof. José Barreto de la LUZ Universidad del Zulia; el profesor me invitó a unirme a un grupo de docentes profesores interesados en el álgebra lineal y la enseñanza de las Matemáticas tratando de que éstas sean más útiles e interesantes.
El Profesor José me planteaba las serias dudas sobre la conveniencia de ciertos temas en cursos de álgebra lineal que le quitan espacio a temas de matemáticas aplicadas haciéndolos muy abstractos.
Cabe destacar que él ha sido colaborador en la universidad de Texas en Austin, de James Daniel, el coautor de Algebra Lineal Aplicada, junto con Ben Noble y discípulo de Robert T. Gregory quien dirigió mi tesis de maestria en dicha Universidad, cuyo libro de Análisis Numérico (coautor con David Young) ha sido reeditado por SIAM recientemente como homenaje a los autores.
Sostiene que los cursos y programas Venezolanos deben actualizarce para dar más énfasis en la teoría de valores propios y sus aplicaciones, la regresión lineal (mínimos cuadrados), la descomposición QR, la descomposición SVD (con preciosas aplicaciones a las telecomunicaciones y la compresión de imágenes) y mucho más.
Nos invita a dar un vistazo a una de sus páginas web. Personalmente se la recomiendo es muy buena y allí encontrarás el libro del profesor en varios capítulos y totalmente gratis.
http://www.abaco.com.ve
El Profesor José me planteaba las serias dudas sobre la conveniencia de ciertos temas en cursos de álgebra lineal que le quitan espacio a temas de matemáticas aplicadas haciéndolos muy abstractos.
Cabe destacar que él ha sido colaborador en la universidad de Texas en Austin, de James Daniel, el coautor de Algebra Lineal Aplicada, junto con Ben Noble y discípulo de Robert T. Gregory quien dirigió mi tesis de maestria en dicha Universidad, cuyo libro de Análisis Numérico (coautor con David Young) ha sido reeditado por SIAM recientemente como homenaje a los autores.
Sostiene que los cursos y programas Venezolanos deben actualizarce para dar más énfasis en la teoría de valores propios y sus aplicaciones, la regresión lineal (mínimos cuadrados), la descomposición QR, la descomposición SVD (con preciosas aplicaciones a las telecomunicaciones y la compresión de imágenes) y mucho más.
Nos invita a dar un vistazo a una de sus páginas web. Personalmente se la recomiendo es muy buena y allí encontrarás el libro del profesor en varios capítulos y totalmente gratis.
http://www.abaco.com.ve
sábado, 16 de agosto de 2008
jueves, 14 de agosto de 2008
Sistemas de Ecuaciones
Amig@s lectores/as en estas vacaciones les estaré publicando una serie de trabajos elaborados por mis estudiantes del semestre que acaba de culminar. Espero que sean de su total utilidad.
Felices Vacaciones.
Felices Vacaciones.
viernes, 4 de julio de 2008
Actividad Nº 11: Cambio de base vectorial por transformaciones lineales.
1. Sea Y= AX,una transformación lineal referida a la base E, donde:
A= 1 2 3
1 2 1
1 0 1
y Z1=(1,0,1)t ; Z2=(1,0,-1)t; Z3=(1,-1,-1)t; una nueva base Z. Sabiendo que X=(1,-2,3) respecto a la base E. Hallar:
a) La imagen de X respecto a la transformación.
b) Las coordenadas de X respecto a la nueva base.
c) Hallar la trasformación lineal Yz=BXz correspondientes a Y=AX
d) Tomando en cuenta el resultado del apartado (c). Hallar la imagen Yz, siendo Xz=(1,2,3).
2. Sabiendo Yz= AXz,una transformación lineal referida a la base Z, donde:
A= 1 1 -2
1 2 0
1 1 1
y W1=(1,-1,1)t ; w2=(1,1,0)t; w3=(1,0,-1)t; los vectores referida a una nueva base W. Hallar la misma transformación lineal Yw=BXw referida a la base W.
A= 1 2 3
1 2 1
1 0 1
y Z1=(1,0,1)t ; Z2=(1,0,-1)t; Z3=(1,-1,-1)t; una nueva base Z. Sabiendo que X=(1,-2,3) respecto a la base E. Hallar:
a) La imagen de X respecto a la transformación.
b) Las coordenadas de X respecto a la nueva base.
c) Hallar la trasformación lineal Yz=BXz correspondientes a Y=AX
d) Tomando en cuenta el resultado del apartado (c). Hallar la imagen Yz, siendo Xz=(1,2,3).
2. Sabiendo Yz= AXz,una transformación lineal referida a la base Z, donde:
A= 1 1 -2
1 2 0
1 1 1
y W1=(1,-1,1)t ; w2=(1,1,0)t; w3=(1,0,-1)t; los vectores referida a una nueva base W. Hallar la misma transformación lineal Yw=BXw referida a la base W.
lunes, 16 de junio de 2008
Actividad Nº 10: Método de Gram Schmidt. Transformación Lineal.
Actividad Individual:
Investigar:
1. Método de Gram-Schmidt.
2. Matriz asociada a una transformación lineal con respecto a la bases dadas.
3. Cambios de base y matriz asociada.
Actividad Grupal
1. Calcular la matriz asociada a la siguiente transformación lineal; T: R3 -->R3 definida por:
T(x,y,z)= [(x+2z),0, (x+y+z)], sabiendo que en los dos conjuntos se toma como base la canónica.
2. Dada la transformación lineal T:R3 -->R3 , tal que: T(x,y,z)= [(x),(x+y), (x-y+z)], sabiendo cuyas bases son las canónicas, calcular la matriz asociada y después calcular las coordenadas del transformado del vector a=(2,1,3).
3. Calcular la matriz asociada a la siguiente transformación lineal; T: R3 -->R3 respecto a la bases B1={e1,e2,e3} ={(1,0,2),(2,1,0),(-1,0,1)}; y B2={u,v,w} ={(2,0,2),(4,1,2),(0,1,2)}; definida por: T(x,y,z)= [(x+y),y, (z+y)], y después calcular las coordenadas de a=(3,-2,1) en base B2.
4. Hallar por el proceso de normalizcaión de vectores, los vectores unitarios correspondientes a los siguientes vectores:
4.1.a= (-2,4,-2)
4.2 b= (3,-4,5)
4.3 c= (-1,0,4)
5. Por el método de Gram-Schmidt, Hallar las bases ortonormales de las siguientes bases de vectores en R3.
5.1 e1= (1,1,1), e2=(1,1,0), e3=(0,1,1)
5.2 x1= (1,-1,1), x2=(2,-1,0), x3=(0,2,1)
Bendiciones para todos.
Investigar:
1. Método de Gram-Schmidt.
2. Matriz asociada a una transformación lineal con respecto a la bases dadas.
3. Cambios de base y matriz asociada.
Actividad Grupal
1. Calcular la matriz asociada a la siguiente transformación lineal; T: R3 -->R3 definida por:
T(x,y,z)= [(x+2z),0, (x+y+z)], sabiendo que en los dos conjuntos se toma como base la canónica.
2. Dada la transformación lineal T:R3 -->R3 , tal que: T(x,y,z)= [(x),(x+y), (x-y+z)], sabiendo cuyas bases son las canónicas, calcular la matriz asociada y después calcular las coordenadas del transformado del vector a=(2,1,3).
3. Calcular la matriz asociada a la siguiente transformación lineal; T: R3 -->R3 respecto a la bases B1={e1,e2,e3} ={(1,0,2),(2,1,0),(-1,0,1)}; y B2={u,v,w} ={(2,0,2),(4,1,2),(0,1,2)}; definida por: T(x,y,z)= [(x+y),y, (z+y)], y después calcular las coordenadas de a=(3,-2,1) en base B2.
4. Hallar por el proceso de normalizcaión de vectores, los vectores unitarios correspondientes a los siguientes vectores:
4.1.a= (-2,4,-2)
4.2 b= (3,-4,5)
4.3 c= (-1,0,4)
5. Por el método de Gram-Schmidt, Hallar las bases ortonormales de las siguientes bases de vectores en R3.
5.1 e1= (1,1,1), e2=(1,1,0), e3=(0,1,1)
5.2 x1= (1,-1,1), x2=(2,-1,0), x3=(0,2,1)
Bendiciones para todos.
lunes, 2 de junio de 2008
Actividad Nº 9: Base, Producto Escalar y Producto Vectorial
1. Verificar si los siguientes vectores, forman una base en R3:
Grupo1: a=(2,2,0); b=(4,0,1); c=(0,0,-2)
Grupo2: a=(-2,0,0); b=(0,0,1); c=(1,0,-2)
Grupo3: a=(-1,1,0); b=(2,0,1); c=(0,0,2)
Grupo4: a=(4,4,0); b=(2,0,1); c=(0,0,-1)
Grupo5: a=(1,0,2); b=(2,1,0); c=(-1,0,1)
Grupo6: a=(-4,0,0); b=(2,0,1); c=(0,0,-1)
Grupo7: a=(-2,2,0); b=(1,0,1); c=(0,1,-1)
Grupo8: a=(0,-4,3); b=(3,0,-1); c=(1,2,0)
Grupo9: a=(0,2,0); b=(0,0,1); c=(2,0,-2)
Grupo10: a=(2,0,0); b=(4,0,0); c=(1,1,0)
2. Dada la base B={e1,e2,e3} tal que e1= (2,0,4); e2=(4,2,0); e3=(-2,0,2). Calcular las coordenadas de los siguientes vectores con respecto a la Base B: a=(4,0,2) y b=(-14,-2,-2).
3. Las coordenadas del vector a respecto a la base B={e1,e2,e3} son (8,-2,4)B .Calcular las coordenadas de a respecto a la base C={u,v,w} sabiendo que e1= (4,-4,0); e2=(2,0,2); e3=(0,2,-2); u= (0,-8,6); v=(6,0,-2); w=(2,4,0).
4. De los vectores del ejercicio 1. Resolver el producto escalar de los tres vectores.
5. Hallar el valor del vector c, que es perpendicular al vector a y al vector b (Perpendicular al plano formado por los vectores a y b).
5.1. a=(1,2,1); b=(0,1,-3/2)
5.2. a= (0, -1/2,2) ; b=(2,-1,3)
Grupo1: a=(2,2,0); b=(4,0,1); c=(0,0,-2)
Grupo2: a=(-2,0,0); b=(0,0,1); c=(1,0,-2)
Grupo3: a=(-1,1,0); b=(2,0,1); c=(0,0,2)
Grupo4: a=(4,4,0); b=(2,0,1); c=(0,0,-1)
Grupo5: a=(1,0,2); b=(2,1,0); c=(-1,0,1)
Grupo6: a=(-4,0,0); b=(2,0,1); c=(0,0,-1)
Grupo7: a=(-2,2,0); b=(1,0,1); c=(0,1,-1)
Grupo8: a=(0,-4,3); b=(3,0,-1); c=(1,2,0)
Grupo9: a=(0,2,0); b=(0,0,1); c=(2,0,-2)
Grupo10: a=(2,0,0); b=(4,0,0); c=(1,1,0)
2. Dada la base B={e1,e2,e3} tal que e1= (2,0,4); e2=(4,2,0); e3=(-2,0,2). Calcular las coordenadas de los siguientes vectores con respecto a la Base B: a=(4,0,2) y b=(-14,-2,-2).
3. Las coordenadas del vector a respecto a la base B={e1,e2,e3} son (8,-2,4)B .Calcular las coordenadas de a respecto a la base C={u,v,w} sabiendo que e1= (4,-4,0); e2=(2,0,2); e3=(0,2,-2); u= (0,-8,6); v=(6,0,-2); w=(2,4,0).
4. De los vectores del ejercicio 1. Resolver el producto escalar de los tres vectores.
5. Hallar el valor del vector c, que es perpendicular al vector a y al vector b (Perpendicular al plano formado por los vectores a y b).
5.1. a=(1,2,1); b=(0,1,-3/2)
5.2. a= (0, -1/2,2) ; b=(2,-1,3)
miércoles, 28 de mayo de 2008
Actividad Nº 8: Dependencia Lineal e Independencia Lineal
1. Expresar el vector v:( 2,1,2) como combinación lineal de los vectores:
Grupo1: a:(0,1,2); b:(0,1,-1) y c: (0,1,-1)
Grupo2: a:(0,1,1); b:(1,0,-1) y c: (0,1,0)
Grupo3: a:(2,1,-1); b:(1,0,-1) y c: (2,1,0)
Grupo4: a:(1,0,2); b:(1,1,-1) y c: (0,0,-1)
Grupo5: a:(1,1,0); b:(1,-1,0) y c: (1,0,1)
Grupo6: a:(0,1,-2); b:(0,1,-1) y c: (0,1,-1)
Grupo7: a:(0,1,-1); b:(1,0,-1) y c: (0,1,-0)
Grupo8: a:(2,-1,-1); b:(1,0,-1) y c: (2,-1,0)
Grupo9: a:(1,0,-2); b:(1,1,-1) y c: (0,0,1)
Grupo10: a:(1,-1,0); b:(1,-1,0) y c: (-1,0,1)
2. Utilice la combinación lineal nula: pa + qb = 0 y pc+qd=0, donde a, b, c y d son los siguientes vectores:
Grupo1: a:(3,2,1); b:(4,0,2); c:(3,6,9); d:(2,4,6)
Grupo2: a:(9,4,3); b:(2,0,1); c:(6,12,18); d:(4,8,12)
Grupo3: a:(-3-,2,-1); b:(-4,0,-2); c:(-3,-6,-9); d:(-2,-4,-6)
Grupo4: a:(-9-,4,-3); b:(-2,0,-1); c:(-6,-12,-18); d:(-4,-8,-12)
Grupo5: a:(3,2,1); b:(4,0,2); c:(3,6,9); d:(2,4,6)
Grupo6: a:(9,4,3); b:(2,0,1); c:(6,12,18); d:(4,8,12)
Grupo7: a:(-3-,2,-1); b:(-4,0,-2); c:(-3,-6,-9); d:(-2,-4,-6)
Grupo8: a:(-9-,4,-3); b:(-2,0,-1); c:(-6,-12,-18); d:(-4,-8,-12)
Grupo9: a:(-3-,2,-1); b:(-4,0,-2); c:(-3,-6,-9); d:(-2,-4,-6)
Grupo10: a:(-9-,4,-3); b:(-2,0,-1); c:(-6,-12,-18); d:(-4,-8,-12)
Verificar si son linealemente independientes o dependientes.
3. Estudie si los siguientes conjuntos de vectores de R3 son linealmente dependientes:
a) {(0, 1, 0), (1, 1, −1), (−1, 0, 1)} c) {(2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 0)}
b) {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1)} d) {(1, 0, 0), (a, 1, 0), (0, a, 1): a ∈R }
4) ¿Para qué valores de a el conjunto {(a, 1, 0), (1, 0, 0), (1, a, 0)} es linealmente dependiente?
5) Determine si los vectores de los siguientes conjuntos son linealmente dependientes. En caso afirmativo, determine una relación de dependencia.
{(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, −1, 1)} b) {(1, 0, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (0, 1, 1, 1), (2, 2, 4, 2)}
Grupo1: a:(0,1,2); b:(0,1,-1) y c: (0,1,-1)
Grupo2: a:(0,1,1); b:(1,0,-1) y c: (0,1,0)
Grupo3: a:(2,1,-1); b:(1,0,-1) y c: (2,1,0)
Grupo4: a:(1,0,2); b:(1,1,-1) y c: (0,0,-1)
Grupo5: a:(1,1,0); b:(1,-1,0) y c: (1,0,1)
Grupo6: a:(0,1,-2); b:(0,1,-1) y c: (0,1,-1)
Grupo7: a:(0,1,-1); b:(1,0,-1) y c: (0,1,-0)
Grupo8: a:(2,-1,-1); b:(1,0,-1) y c: (2,-1,0)
Grupo9: a:(1,0,-2); b:(1,1,-1) y c: (0,0,1)
Grupo10: a:(1,-1,0); b:(1,-1,0) y c: (-1,0,1)
2. Utilice la combinación lineal nula: pa + qb = 0 y pc+qd=0, donde a, b, c y d son los siguientes vectores:
Grupo1: a:(3,2,1); b:(4,0,2); c:(3,6,9); d:(2,4,6)
Grupo2: a:(9,4,3); b:(2,0,1); c:(6,12,18); d:(4,8,12)
Grupo3: a:(-3-,2,-1); b:(-4,0,-2); c:(-3,-6,-9); d:(-2,-4,-6)
Grupo4: a:(-9-,4,-3); b:(-2,0,-1); c:(-6,-12,-18); d:(-4,-8,-12)
Grupo5: a:(3,2,1); b:(4,0,2); c:(3,6,9); d:(2,4,6)
Grupo6: a:(9,4,3); b:(2,0,1); c:(6,12,18); d:(4,8,12)
Grupo7: a:(-3-,2,-1); b:(-4,0,-2); c:(-3,-6,-9); d:(-2,-4,-6)
Grupo8: a:(-9-,4,-3); b:(-2,0,-1); c:(-6,-12,-18); d:(-4,-8,-12)
Grupo9: a:(-3-,2,-1); b:(-4,0,-2); c:(-3,-6,-9); d:(-2,-4,-6)
Grupo10: a:(-9-,4,-3); b:(-2,0,-1); c:(-6,-12,-18); d:(-4,-8,-12)
Verificar si son linealemente independientes o dependientes.
3. Estudie si los siguientes conjuntos de vectores de R3 son linealmente dependientes:
a) {(0, 1, 0), (1, 1, −1), (−1, 0, 1)} c) {(2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 0)}
b) {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1)} d) {(1, 0, 0), (a, 1, 0), (0, a, 1): a ∈R }
4) ¿Para qué valores de a el conjunto {(a, 1, 0), (1, 0, 0), (1, a, 0)} es linealmente dependiente?
5) Determine si los vectores de los siguientes conjuntos son linealmente dependientes. En caso afirmativo, determine una relación de dependencia.
{(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, −1, 1)} b) {(1, 0, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (0, 1, 1, 1), (2, 2, 4, 2)}
miércoles, 21 de mayo de 2008
Actividad N.- 7
Saludos, hoy les traigo la presente actividad correspondiente a la semana 8, en la cual deben resolver los siguientes ejercicios sobre sistemas de ecuaciones lineales homogeneas.
Adicionalmente y para complemento de esta actividad, deberan contestar un test muy bueno que consiguió mi esposa en internet, son ejercicios de razonamiento abstracto los cuales son excelentes para ejercitar la habilidad y destreza en Matemáticas, al final les dejo las intrucciones a seguir y el link.
1. Calcular el valor de de m para que la solución del siguiente sistema de ecuación homógeneo sea trivial:
x + y+ z = 0
2x + 3y + z=0
x + 2my + 2z =0
2. Calcular el valor de m para que el siguiente sistema de ecuaciones tenga solución distinta de la trivial y después resolverlo.
2.1. x + y – z =0
2x + 3y + z= 0
x + 2my + 2z =0
2.2. 2x + y + z=0
xx + y + z=0
x + my + z =0
3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x1 – 2x2 + 3x3=0
2x1 + 5x2 + 6x3 =0
Este es el link http://www.iqtest.dk/main.swf en el que deben hacer click y realizar el test del que les comenté al inicio del post, deberan escoger la opción español al ingresar a la página y seguir las instrucciones. Posteriormente colocar en los comentarios de esta actividad, el resultado obtenido. Espero lo disfruten tanto como yo al publicarlo. Bendiciones para tod@s.
Adicionalmente y para complemento de esta actividad, deberan contestar un test muy bueno que consiguió mi esposa en internet, son ejercicios de razonamiento abstracto los cuales son excelentes para ejercitar la habilidad y destreza en Matemáticas, al final les dejo las intrucciones a seguir y el link.
1. Calcular el valor de de m para que la solución del siguiente sistema de ecuación homógeneo sea trivial:
x + y+ z = 0
2x + 3y + z=0
x + 2my + 2z =0
2. Calcular el valor de m para que el siguiente sistema de ecuaciones tenga solución distinta de la trivial y después resolverlo.
2.1. x + y – z =0
2x + 3y + z= 0
x + 2my + 2z =0
2.2. 2x + y + z=0
xx + y + z=0
x + my + z =0
3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x1 – 2x2 + 3x3=0
2x1 + 5x2 + 6x3 =0
Este es el link http://www.iqtest.dk/main.swf en el que deben hacer click y realizar el test del que les comenté al inicio del post, deberan escoger la opción español al ingresar a la página y seguir las instrucciones. Posteriormente colocar en los comentarios de esta actividad, el resultado obtenido. Espero lo disfruten tanto como yo al publicarlo. Bendiciones para tod@s.
jueves, 15 de mayo de 2008
Actividad Nº 6: Sistemas de ecuaciones. Resolución por Cramer y Gauss-Jordan
1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el Método de Cramer:
1.1 3x + ay = 3a +1
x/a +ay= 2
1.2 x+y = 1
y + z= -1
z + x= 6
1.3 2x1 + x2 + 5x3 + x4= 5
x1 + x2 – 3x3 – 4x4=-1
3x1 + 6x2 – 2x3 + x4=8
2x1 + 2x2 + 2x3 – 3x4=2
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones usando el Método de Gauss-Jordan.
2.1 x1 + 2x2 + x3 = 5
3x1 + x2 – 2x3 =1
4x1 - 3x2 – x3 =8
2.2 2x+y-z = 1
4x+2y + 2z= 2
-2x-y+z = 6
1.1 3x + ay = 3a +1
x/a +ay= 2
1.2 x+y = 1
y + z= -1
z + x= 6
1.3 2x1 + x2 + 5x3 + x4= 5
x1 + x2 – 3x3 – 4x4=-1
3x1 + 6x2 – 2x3 + x4=8
2x1 + 2x2 + 2x3 – 3x4=2
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones usando el Método de Gauss-Jordan.
2.1 x1 + 2x2 + x3 = 5
3x1 + x2 – 2x3 =1
4x1 - 3x2 – x3 =8
2.2 2x+y-z = 1
4x+2y + 2z= 2
-2x-y+z = 6
lunes, 5 de mayo de 2008
Actividad Nº 5: Inversa de una matriz por el método de la adjunta y Sistema de ecuaciones.
Actividad Nº 5:
1. Calcular la matriz inversa utilizando el método de la adjunta:
1.1)
1. Calcular la matriz inversa utilizando el método de la adjunta:
1.1)
1.2) 
2. Hallar el Rango de las siguientes matrices:2.1)
2.2.) 
3. Resolver el siguiente sistema de ecuación mediante la forma AX=B; X=A-1B
4. Resolver el siguiente sistema de ecuación utilizando el método de Gauss-Jordan:6x + 2y + 3z= 11
5x + 4y – 2z= 7
3x – 2y + 5z = 6
sábado, 26 de abril de 2008
Operaciones con Matrices, Matriz Transpuesta e Inversa, Determinantes. Ejercicios tipo.
Jovenes, aqui les dejo algunas actividades resueltas por sus compañeros; acerca de las operaciones matriciales, cálculo de la matriz transpuesta e inversa y determinante matricial.
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Read this doc on Scribd: Trabajo de algebra[1] determinantes
viernes, 25 de abril de 2008
Ejercicio para el cálculo de la matriz inversa:
Jovenes, aquí les dejo el cáculo de la matriz inversa de orden 3x3, realizada por el método de Gauss- Jordan, este cáculo lo hizo la amiga Mariely de la sección 009 Ing. Petroleo, con su número de Cédula de Identidad y agregando un (0) cero al elemento a33.
Espero que les sirva de ayuda para su resolución.
Espero que les sirva de ayuda para su resolución.
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