Ejercicios para el 2º examen parcial de Ecuaciones Diferenciales UC

1. Hallar las trayectorias ortogonales de cada una de las siguientes curvas:

x+2y=C Sol: y-2x=K
xy=C Sol: x²-y²=C
x²+2y²=C Sol: y=Kx²
y=Ce^-2x Sol: y²=x+K
y²=x³/(C-x) Sol: (x²+y²)²=K(2x²+y²)


2. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene 300 galones de agua en un inicio, en los que se disolvieron 50 libras de sal. Al tanque entra agua pura con un flujo de 3 gal/min y, con el tanque bien agitado, sale el mismo flujo. Deduzca una ecuación diferencial que exprese la cantidad x(t) de sal que hay en el tanque cuando el tiempo es t.

3. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene al principio 300 galones de agua, en los que se han disuelto 50 Ib de sal. Al tanque entra otra sahnuera a un flujo de 3 gal/min y, estando bien mezclado el contenido del tanque, salen tan sólo 2 gal/min. Si la concentración de la solución que entra es 2 lb/gal, deduzca una ecuación diferencial que exprese la cantidad de sal, x(t), que hay en el tanque cuando el tiempo es t.

4. Por un agujero circular de área Ao, en el fondo de un tanque, sale agua. Debido a la fricción y a la contracción de la corriente cerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce a cAo(2gh)^1/2, donde g =32pies/seg2.




5. Un termómetro se mantenía guardado en una habitación de temperatura 80ºF, cinco minutos después de haberlo sacado de la habitación el termómetro marca 70ºF, otros cinco minutos después marca 65ºF ,calcule la temperatura del exterior. Solución: Ta= 20ºF


6. La temperatura del agua sube de 10ªC a 20ºC en 5 minutos cuando el agua está colocada en un recinto cuya temperatura es de 40ºC.

Calcule:

La temperatura en un instante de tiempo t. (Sol: T= 40 -30 e -8x10-2t)
La temperatura del agua a cabo de 20 minutos y media hora. (Sol: T= 33,94ºC y 37,28ºC )
¿Cuándo será la temperatura del agua a 30ºC? (Sol: t= 13,73 min)


7. Se tiene un tanque de forma esférica, inicialmente lleno de agua. El líquido escapa por un orificio de 3 cm², situado en la base del tanque. (Tome el coeficiente de descarga igual a 1).

Calcule:
a)El tiempo de vaciado del tanque. (Sol: ts= 20288,341s=338,14 min)
b)El tiempo para el cual existe en el tanque un volumen de agua igual al 50% del volumen inicial. (Sol: t=7735, 37 s= 128,93 min).
c)Idem al anterior para 20% de Vo. (Sol: t= 230,30 min).
Nota: En el caso de volumen de revolución dv= pix²

8. Calcular el tiempo en que tarda en vaciarse un tanque de forma de cono invertido, que inicialmente está lleno de agua en su totalidad, si éste se va por un orificio de 4 cm², situado en su vértice; Las dimensiones del cono son: altura: 6 mts, base 4 mts.
(Sol: ts= 6953, 12 s= 113,89 min).
Nota: En el caso de volumen de revolución dv= pix²